jueves, 25 de octubre de 2007

George Cantor y la teoria de los numeros transfinitos

GEORG CANTOR Y LA TEORIA DE LOS NÚMEROS
TRANSFINITOS
Cuando Georg Cantor comenzó su trabajo sobre la unicidad de las series
trigonométricas, quizá no sabia que se encontraba ante el inicio de una de las teorías
más innovadoras y controvertidas en el mundo de las matemáticas de este siglo, la teoría
de los números transfinitos.
Cantor no solo introdujo una nueva teoría que parecía ir contra toda lógica, sino
que se involucro en la difícil tarea de dar a los números (sobre todo a los números
reales y en particular a los irracionales) una identidad de la que hasta ese momento
carecían y que hacia tambalear los propios fundamentos de las matemáticas.
La primera dificultad importante con la que Cantor se encontró fue la de
conseguir una teoría satisfactoria sobre los números reales. Al avanzar el siglo XIX
surgieron descubrimientos matemáticos, como el concepto de limites e infinitesimos
que hacían ver que los conjuntos de números racionales e irracionales se comportaban
de maneras muy distintas sin que los matemáticos del momento pudieran dar con una
razón clara. Muchos fueron los matemáticos que trabajaron en la fundamentación de los
números reales (Dedekind, Weierstrass, ... ). Sin embargo Cantor fue mas allá.
Construyó el dominio de los números reales a partir de sucesiones infinitas de números
racionales. Y ahí se encontró con las primeras controversias, que acompañarían
inexorablemente todo su trabajo posterior, pues el trabajar con sucesiones o conjuntos
infinitos entraba en conflicto con la mente de gran número de matemáticos que veían el
infinito, no como una entidad matemática sino como una cantidad en potencia que
nunca podía considerarse como algo completo y determinado.
Desde la antigüedad el infinito ha sido considerado como algo de lo que se tenia
que huir, incluso herético, pues nadie podía dar una solución a las contradicciones que
el concepto de algo tan basto e ilimitado daban, desde las paradojas de Zenon de Elea
"Georg Cantor y la teoría de los números transfinitos "
asta el aparente absurdo emparejamiento entre los números pares y los naturales de
Galileo.
Las objeciones a tratar el concepto de infinito como una cantidad en acto
parecían a priori bastante lógicas y naturales pues, ¿como vamos a poder comparar dos
conjuntos infinitos de elementos si ni siquiera podemos abarcar todos sus elementos y
mucho menos contarlos?
La solución no radica en “contar”, sino en “emparejar”, relacionar un elemento
de un conjunto con otro, del mismo modo que hacemos sentarse a la gente de un
auditórium en las sillas para saber si tenemos bastantes sillas o no, mucho mas practico
que contar por una parte el número de personas y por el otro el número de sillas.
De este modo Cantor introdujo la importante definición de equivalencia entre
conjuntos. Dos conjuntos son equivalentes si podemos poner en correspondencia por
una determinada ley, los elementos de un conjunto con los del otro.
Con esta definición se llegaran a conclusiones que antaño parecían paradójicas,
como el hecho de que hay igual número de números pares que de números naturales,
cuando, como penso Galileo, lo lógico es que debieran haber la mitad de números pares
que naturales.
Ante la claridad del método utilizado por Cantor la única salida que quedaba
para sus detractores era la de rechazar la idea de infinito en acto, algo que se opone al
propio desarrollo de las matemáticas, pues coarta la posibilidad de trabajar con
conjuntos como los reales donde la nueva manera de ver el infinito de Cantor daba una
claridad donde antes solo había habido sombras.
Cantor llamó numerables a aquellos conjuntos que podían ponerse en
correspondencia con los números naturales (como los enteros o los racionale) e
introdujo el primer número transfinito, 0 c (primera letra del alfabeto hebreo, la letra
aleph) para determinar el número de elementos que tiene un conjunto infinito
numerable.
El siguiente paso fue demostrar la no-numerabilidad del continuo, es decir, de
los números reales, con lo que se probaba que el cardinal de los números reales era
mayor que el de los conjuntos numerables.
Este teorema (junto con la técnica empleada en su demostración y que recibió el
nombre de “proceso de diagonalización”) es uno de los resultados más importantes en

matemáticas, pues por primera vez reflejaba el hecho de que hay conjuntos infinitos
con una cardianalidad mayor que la de otros conjuntos infinitos, en este caso, los
puntos de un intervalo de la recta real son mas abundantes que el conjunto de los
números naturales.
Pero de nuevo Cantor se encontraría con nuevas dificultades y resultados
sorprendentes. Una vez establecida la cardinalidad de los conjuntos numerables y la del
continuo (a la que denoto por c) había que encontrar conjuntos con una cardinalidad
superior a la de este ultimo. La respuesta aparente a esta dificultad estaba en intentar
poner en correspondencia los puntos de una superficie con los de la recta, algo que a
priori parecía imposible. Pero Cantor volvió a tropezarse con un resultado asombroso,
ambos conjuntos de puntos son equivalentes. La aparente lógica volvía a derrumbarse
ante la demostración de Cantor. “ Lo veo y no me lo creo “ exclamó Cantor ante este
nuevo descubrimiento.
Visto que existían mas de un número cardinal (por el momento los numerables y
el continuo) había que establecer una relación de orden, “menor que“ para sus nuevos
números. Cantor estableció que dados dos conjuntos A y B, el cardinal del conjunto A
es menor o igual que el de B, si existe una correspondencia de todos los puntos de A con
un subconjunto de los puntos de B. La desigualdad estricta entre dos conjuntos se daría
cuando uno fuera menor o igual que el otro pero no existiera una correspondencia entre
ambos.
De este modo Cantor demostró que el cardinal de los numerables es menor
estricto que el de los reales, es decir: 0 c < c.
Una vez establecida la posibilidad de comparar cardinales de conjuntos infinitos
Cantor quiso demostrar que si A < B y B < A entonces A = B (donde A
denota el cardinal del conjunto A). Un resultado tan obvio en los conjuntos finitos
resultó de una gran complejidad extrapolarla al mundo de los cardinales transfinitos.
Tuvieron que ser los matemáticos Ernst Schroder y Félix Bernstein quienes
demostraron este resultado para conjuntos infinitos. De esta manera la naturaleza de los
números tranfinitos parecía comportarse de una manera lógica, con lo que la teoría de
Cantor parecía ganar mas credibilidad.
Aunque pudiera parecer que c fuera el último cardinal transfinito, Cantor logró
demostrar que existían cardinales transfinitos aun mayores. Definió el conjunto potencia
Georg Cantor y la teoría de los números transfinitos por César Gallart
de un conjunto dado como el conjunto de todos sus subconjuntos. Demostró que para
cualquier conjunto se daba que el cardinal de dicho conjunto es siempre menor estricto
que el cardinal de su conjunto potencia. Este importante resultado se conoce como
“Teorema de Cantor”. De este modo no solo estableció el primer cardinal transfinito,
y después un infinito de tamaño mayor, c, sino que de la aplicación de este teorema
afirmó la existencia de una serie ilimitada de números transfinitos cada vez mayores.
Pese al esfuerzo de Cantor su trabajo se encontró con algunas lagunas, y no solo
referentes a los ataques de sus enemigos. Uno de los problemas más graves con los que
Cantor se enfrentó fue la denominada “Hipótesis del continuo”.
La hipótesis del continuo sostiene que no hay ningún cardinal entre 0 c y c, es
decir, 0 c y c se comportan como los dos primeros números naturales, en este caso en
los dos primeros números transfinitos y además establecía que cualquier subconjunto
de los números reales infinitos era, o bien numerable o bien tenia la cardinalidad del
continuo. La hipótesis parece obvia pero aun hoy no ha podido ser demostrada. Es mas,
Kurt Godel y posteriormente Paul Cohen demostraron que la hipótesis del continuo no
podía ser demostrada ni refutada por los axiomas de la teoría de conjuntos.
Otra de las paradojas que se deducen de la teoría de Cantor es la referente al
conjunto universal (conjunto de todos los conjuntos). Si aplicamos el teorema de Cantor
a este conjunto vemos que el cardinal de su conjunto potencia es mayor estricto que su
cardinal con lo que al ser su conjunto potencia un conjunto, también se encontraría
dentro del conjunto universal, con lo que llegaríamos a una contradicción.
Una de las mayores dificultades con que nos encontramos para poder
comprender el trabajo de Cantor radica en el cambio de mentalidad a la que nos vemos
forzados. Pues la concepción de los números transfinitos parece ir en contra de toda
lógica. El primer problema llega con el concepto de infinito en acto. En aquel momento
nadie podía entender como dos conjuntos infinitos podían compararse y determinar que
uno fuera mayor que el otro. ¿Si ambos tienen un numero ilimitado de elementos como
establecer que los elementos de uno sean mas abundantes que los del otro? . La solución
aportada por Cantor es tan elemental como eficiente. El emparejamiento de los
elementos de un conjunto con los del otro, algo que hasta ese momento había servido
para desechar la idea del infinito en acto como algo paradójico, aclara la naturaleza de
los conjuntos infinitos.
El posterior desarrollo de la teoría de los números transfinitos va mucho mas
allá. No contento con el descubrimiento de la naturaleza del “infinito” de los
numerables y el del continuo, Cantor propone la creación de una nueva serie de
números como una prolongación de los naturales (es mas, diferencia entre los números
cardinales, referidos al numero de elementos de un conjunto y los números ordinales,
referidos a la ordenación de sus elementos, que en el caso de los conjuntos finitos se
confunden, aunque no sucede así en el caso de los conjuntos infinitos). De nuevo nos
encontramos con una dificultad, pues si bien en el caso de los números enteros y hasta
en el caso de los irracionales podemos encontrar un reflejo de ellos en la naturaleza
(recordemos que la existencia de los irracionales era conocida ya por los antiguos
griegos), los nuevos números transfinitos de Cantor escapan a un racionamiento lógico
y natural de los mismos. Como indico Leopold Kronecker (gran enemigo de Cantor y de
su teoría): “Dios hizo los enteros; el resto es obra del hombre “.
Sin embargo la construcción de los números transfinitos supone ampliar el
campo de las matemáticas, permitiendo que estas no se queden ancladas por una visión
cerrada y limitada del mundo. Las matemáticas no deben ni pueden quedarse en lo
lógicamente razonable, sino permitir que el genio vaya mas allá de lo conocido para
explorar rincones a primera vista prohibidos. Llegados a este punto no nos resistimos a
comparar la figura de Cantor con la del físico Galileo. Cuando Galileo se decidió a
publicar su teoría sobre el heliocentrismo (teoría que, al igual que la idea del infinito de
Cantor no era tan novedosa como en un principio pudiera esperarse, sino que ya había
sido estudiada por otros científicos) toda la sociedad de la época, encabezada por la
iglesia católica se lanzo sobre él. La nueva teoría suponía romper con una mentalidad
que servia a sus propios fines (el hombre centro de la creación). Era mas fácil rechazar
por herejía la teoría de Galileo que renovar el concepto del universo que se tenia. Sin
querer comparar a Kronecker con la inquisición católica ni a Cantor con Galileo (quien
como ya hemos dicho también se enfrento a las aparentes paradojas del infinito) nos
encontramos con un caso similar. Una teoría revolucionaria que hizo tambalear unas
ideas aceptadas desde antiguo (el infinito como potencia, nunca en acto) pero que
terminan imponiéndose por la lógica de la razón, desarrollando enormemente y de una
manera definitiva la teoría de conjuntos. Cantor, al final de su vida, en parte por unas
profundas creencias religiosas heredadas de su familia, en parte por los ataques a que
estuvo expuesto por sus rivales a lo largo de su vida, y también, como no, por la
profundidad de su teoría, donde por fin el infinito es alcanzable y comprendido, el
infinito donde Dios antaño parecía esconderse, acabo creyéndose un mensajero de las
matemáticas, que le habían sido dadas para servir con ellas a la fe cristiana.
“Por primera vez la filosofía cristiana aprenderá de mí la verdadera teoría
del infinito”